Как построить треугольник по двум сторонам и углу

Содержание

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задача:

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений).

Дано: отрезки МК и ОЕ, hk.

Построить АВС такой, что АВ = МК, АС = ОЕ, ВАС =hk.

Решение:

С помощью линейки проводим прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку МК. Для этого произвольно на прямой ставим точку А, с помощью циркуля измеряем отрезок МК и строим окружность с центром в точке А радиуса МК (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точку пересечения окружности с прямой обозначаем В.

Далее строим угол ВАF равный углу hk. Для этого строим с помощью циркуля окружность радиуса МК с центром в вершине угла hk (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точки пересечения данной окружности со сторонами угла hk обозначаем N и Р.

С помощью циркуля измеряем длину отрезка NP и строим окружность радиуса NP с центром в точке В (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное синим цветом). Точку пересечения данной окружности с окружностью радиуса МК с центром в точке А обозначаем F.

Далее, проводим луч АF с помощью линейки.

Затем, с помощью циркуля измеряем отрезок ОЕ и строим окружность радиуса ОЕ с центром в точку А (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное зеленым цветом). Точку пересечения данной окружности с лучом АF обозначаем С.

Теперь с помощью линейки соединяем точки В и С. Получаем треугольник АВС, в котором по построению АВ = МК, АС = ОЕ, ВАС =hk, следовательно, треугольник АВС искомый.

При любых данных отрезках МК, ОЕ и данном неразвернутом угле hk искомый треугольник построить можно. Прямую и точку А на ней можно выбрать произвольно, значит, существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи, Все эти треугольники будут равны друг другу по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Как построить треугольник по двум сторонам и углу

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

  • Главная
  • 7-Класс
  • Геометрия
  • Видеоурок «Построение треугольника по трем элементам»

Построение геометрической фигуры – одна из интересных задач в геометрии. Получить необходимую фигуру только при помощи циркуля и линейки без делений не просто.

Фигура треугольник часто используется в решении задач, но как его правильно построить?

Пусть необходимо построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Во-первых, что такое две стороны – это два произвольных отрезка, например, P1Q1 и P2Q2, а также произвольный угол альфа. Все эти элементы уже построены, другими словами, эти элементы – дано задачи.

Во-вторых, необходимо определить последовательность построения: сначала необходимо построить одну сторону треугольника, затем угол и потом вторую сторону треугольника.

Итак, перед нами белый лист, проведем прямую а и отметим на ней точку А, затем возьмем циркуль и отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. Далее выберем произвольный раствор циркуля и проведем одну окружность с центром в вершине угла альфа и другую с центром в точке А. Первая окружность пересечет лучи угла альфа в точках Р и К, а вторая окружность пересечет прямую а в точке М. Проведем отрезок РК. Затем возьмем раствор циркуля, равный отрезку РК, и построим окружность с центром в точке М. Окружность с центром в точке М пересечет окружность с центром в точке А, пусть эта точка будет М1. Проведем луч АМ1. Затем на луче АМ1 отложим отрезок АС, равный отрезку Р2Q2. Соединим точки В и С отрезком. Полученный треугольник АВС – искомый.

Теперь докажем, что полученный треугольник АВС искомый. На самом деле отрезок АВ равен отрезку P1Q1 и отрезок АС равен отрезку P2Q2 по построению. Угол альфа также по построению равен углу САВ. При данном ходе построения для любых данных отрезков P1Q1 и P2Q2 и неразвернутом угле альфа искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу по первому признаку равенства треугольников, поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Теперь рассмотрим задачу построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Итак, нам дан отрезок PQ и два угла альфа и бета. Проведем прямую а и отметим на ней произвольную точку А. Отложим от точки А отрезок АВ, равный отрезку PQ. Затем построим угол М1АВ с вершиной в точке А, равный углу альфа, и угол М2ВА с вершиной в точке В, равный углу бета. Точка пересечения лучей АМ1 и ВМ2 будет точка С. Треугольник АВС искомый.

Докажем это: отрезок АВ равен отрезку PQ по построению, также по построению угол САВ равен углу альфа, а угол СВА равен углу бета.

Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому при данном ходе построения искомый треугольник АВС возможно построить только, если сумма углов альфа и бета будет меньше 180 градусов. Если же сумма данных углов будет больше или равна 180 градусом, треугольник построить невозможно.

В этой задаче, как и в предыдущей, прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, а значит, существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу по второму признаку равенства треугольников, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

Построить треугольник по трем сторонам является третьей задачей построения треугольника.

Пусть нам даны три отрезка P1Q1, P2Q2 и P3Q3. необходимо построить треугольник АВС, в котором АВ равно P1Q1, ВС равно P2Q2 и СА равно P3Q3.

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. Затем построим две окружности: одну – с центром в точке А и радиусом P3Q3, а другую – с центром в точке В и радиусом P2Q2. Пусть точка С – одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС. В самом деле, по построению АВ равно P1Q1, BC равно P2Q2 и СА равно P3Q3, то есть стороны треугольника равны данным отрезкам.

Рассмотренная задача не всегда имеет решение в силу действия неравенства треугольника, то есть в любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому, если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Читайте также:  Как подготовиться к конкурсу

§ 4. Построение треугольника по трём элементам

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Расстоянием между двумя точками мы назвали длину отрезка, соединяющего эти точки. Введём теперь понятия расстояния от точки до прямой и расстояния между параллельными прямыми.

Пусть отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, М — любая точка прямой а, отличная от Н (рис. 136). Отрезок AM называется наклонной, проведённой из точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АНМ катет АН меньше гипотенузы AM.

Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.

На рисунке 137 расстояние от точки В до прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см.

Прежде чем ввести понятие расстояния между параллельными прямыми, рассмотрим одно из важнейших свойств параллельных прямых.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Рассмотрим параллельные прямые а и B. Отметим на прямой а точку А и проведём из этой точки перпендикуляр АВ к прямой B (рис. 138). Докажем, что расстояние от любой точки X прямой а до прямой b равно АВ.

Проведём из точки X перпендикуляр ХУ к прямой B. Так как ХY ⊥ b, то ХY ⊥ a. Прямоугольные треугольники ABY и YXA равны по гипотенузе и острому углу (AY — общая гипотенуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и B секущей AY). Следовательно, ХY = АВ.

Итак, любая точка X прямой а находится на расстоянии АВ от прямой B. Очевидно, все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой а. Теорема доказана.

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми (окончание)

Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, всё время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной. (Докажите это самостоятельно.)

Из доказанной теоремы и ей обратной следует, что множество всех точек плоскости, народящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

В самом деле, пусть а — данная прямая, d — данное расстояние. Отметим на прямой а произвольную точку А и проведём отрезок АВ длины d, перпендикулярный к прямой а; через точку В проведём прямую B, параллельную прямой а (сделайте соответствующий рисунок). По доказанной теореме все точки прямой B находятся на расстоянии d от прямой а, т. е. все они принадлежат искомому множеству. В силу обратной теоремы любая точка искомого множества лежит на прямой B. Таким образом, искомым множеством является прямая B.

Множество всех точек, удовлетворяющих какому-либо условию, иногда называют геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию. Можно сказать тем самым, что геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

На этом факте основано устройство инструмента, называемого рейсмусом (рис. 139, а). Рейсмус используется в столярном деле для разметки на поверхности деревянного бруска прямой, параллельной краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края бруска металлическая игла прочерчивает отрезок прямой, параллельный краю бруска (рис. 139, б).

Построение треугольника по трём элементам

Построить треугольник по двум сторонам и Углу между ними.

Прежде всего уточним, как нужно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить.

Даны отрезки P1Q1, P2Q2 и угол hk (рис. 140, а). Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам P1Q1 и P2Q2, а угол А между этими сторонами равен данному углу hk.

Проведём прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1 (рис. 140, б). Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk (как это сделать, мы знаем). На луче AM отложим отрезок АС, равный отрезку P2Q2, и проведём отрезок ВС. Построенный треугольник АВС — искомый.

В самом деле, по построению АВ = P1Q1, АС = P2Q2, A = hk.

Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках P1Q1, P2Q2 и данном неразвёрнутом угле hk искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Решите эту задачу самостоятельно.

Построить треугольник по трём его сторонам.

Проведём прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1 (рис. 141,6). Затем построим две окружности: одну — с центром А и радиусом P3Q3, а другую — с центром В и радиусом P2Q2. Пусть точка С — одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС.

В самом деле, по построению AB = P1Q1, BC = P2Q2, CA = P3Q3, т. е. стороны треугольника АВС равны данным отрезкам.

Задача 3 не всегда имеет решение. Действительно, во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Задачи

271. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.

272. В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС.

273. Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

274. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

275. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника АВС.

276. Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

277. Расстояние между параллельными прямыми а и б равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.

278. Прямая АВ параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADC = 30°, AD = 6 см.

Читайте также:  Как сделать полив

279.* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

280. Даны неразвёрнутый угол АВС и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удалённых от прямой ВС на расстояние PQ?

281. Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых?

282. Прямые а и б параллельны. Докажите, что середины всех отрезков ХY, где X ∈ a, Y ∈ б, лежат на прямой, параллельной прямым а и б и равноудалённой от этих прямых.

283. Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Задачи на построение

284. Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми аир было равно АВ.

Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и проведём через точку С прямую б, перпендикулярную к прямой а (рис. 142).

Затем на одном из лучей прямой б, исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку АВ. Через точку D проведём прямую р, перпендикулярную к прямой б. Прямая р — искомая (объясните почему).

Как видно из построения, для любой данной прямой а и любого данного отрезка АВ искомую прямую можно построить, причём задача имеет два решения (прямые р и р, на рисунке 143).

285. Даны пересекающиеся прямые а и б и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удалённую от прямой б на расстояние PQ.

286. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

287. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

288. Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник АВС так, чтобы:

289. Даны два угла hk и h1k1 и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы AB = PQ, ∠A = ∠hk, ∠BAC = ½∠hk.

290. Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

291. Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведённой к основанию.

292. Даны отрезки P1Q1, P2Q2 и Р3Q3. Постройте треугольник АВС так, чтобы:

Всегда ли задача имеет решение?

293. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведённой к этой стороне.

Даны отрезки P1Q1 и P2Q2 и угол hk (рис. 144, а). Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, скажем АВ, равна отрезку P1Q1, один из прилежащих к ней углов, например угол А, равен данному углу hk, а высота СН, проведённая к стороне АВ, равна данному отрезку P2Q2.

Построим угол XAY, равный данному углу hk, и отложим на луче АХ отрезок АВ, равный данному отрезку P1Q1 (рис. 144, б).

Для построения вершины С искомого треугольника заметим, что расстояние от точки С до прямой АВ должно равняться P2Q2. Множеством всех точек плоскости, находящихся на расстоянии P2Q2 от прямой АВ и лежащих по ту же сторону от прямой АВ, что и точка Y, является прямая р, параллельная прямой АВ и находящаяся на расстоянии Р2Q2 от прямой АВ. Следовательно, искомая точка С есть точка пересечения прямой р и луча AY. Построение прямой р описано в решении задачи 284. Очевидно, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи: AB = P1Q1, СН = P2Q2, ∠A = ∠hk.

294. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон.

295. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон.

Ответы к задачам

275. Указание. Сначала доказать, что СМ — медиана треугольника АВС.

277. 2 см или 8 см.

279. Указание. Через одну из точек, удовлетворяющих условию задачи, провести прямую, параллельную данной, и доказать, что любая другая точка, удовлетворяющая условию задачи, лежит на этой прямой.

280. Луч с началом на стороне ВА, параллельный стороне ВС. Указание. Воспользоваться задачей. 279.

281. Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них.

282. Указание. Воспользоваться задачей 281.

283. Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от неё.

285. Указание. Воспользоваться задачей 284.

Построение треугольников. Задачи на построение

Решение задач на построение состоит из четырех основных этапов:

Каждый этап является важным. Например, анализ и исследование задачи необходимы для рассмотрения случаев, когда задача будет иметь решение, а когда – нет.

Построение фигур проще выполнять с помощью транспортира и линейки с делениями, но в математике необходимо уметь выполнять построение, используя циркуль и линейку без делений.

Построение отрезка, равного заданному

Построить отрезок, равный заданному, можно за 3 действия. Каждое действие обозначено на рисунке соответствующими цифрами.

Пусть необходимо построить отрезок, который будет равен отрезку $АВ$. Для этого:

  1. Отметим произвольно точку $А_1$ и проведем луч с началом в этой точке.
  2. С помощью циркуля измерим заданный отрезок $АВ$.
  3. Проведем часть окружности с радиусом, равным отрезку $АВ$, и центром в точке $А_1$. В точке пересечения окружности и построенного луча получим точку $В_1$.

Таким образом, построенный отрезок $А_1 В_1$ будет равен заданному отрезку $АВ$.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Построение угла, равного заданному

Построить угол, равный заданному, можно за $5$ действий. Каждое действие обозначено на рисунке соответствующими цифрами.

Пусть необходимо построить угол, который будет равен углу $А$.

  1. Отметим произвольную точку $А_1$ и проведем из нее луч $А_1$.
  2. Циркулем с произвольным радиусом проведем часть окружности с центром в точке $А$ до пересечения обеих сторон заданного угла $А$.
  3. С тем же радиусом проведем часть окружности с центром в точке $А_1$ до пересечения с лучом $А_1$.
  4. Из точек пересечения проведем окружности с одинаковым радиусом.
  5. Проведем прямую из точки $А_1$ через вторую точку пересечения.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть даны два отрезка $b$ и $с$ и угол $А$:

Необходимо построить треугольник с заданными двумя сторонами и углом между ними:

Построение выполняется в 4 этапа, каждый из которых показан на рисунках:

Построим угол $А$, который равен заданному углу по схеме, которая рассматривалась выше.

С помощью циркуля замеряем отрезок $b$ и отложим от точки $А$ такой же отрезок на одной из сторон построенного угла. Получим точку $С$.

Циркулем замеряем отрезок $с$ и отложим от точки $А$ такой же отрезок на второй стороне построенного угла. Получим точку $В$.

С помощью линейки соединим точки $В$ и $С$.

Таким образом, получили треугольник $АВС$, построенный по двум сторонам и углу между ними.

Для облегчения построения полезно схематически изобразить будущий треугольник со всеми необходимыми элементами. Так будет наглядней видно, что после чего нужно строить.

Построение треугольника по стороне и прилегающим к ней углам

Пусть даны два угла $А$ и $В$ и отрезок $с$:

Необходимо построить треугольник с заданными двумя углами и стороной, к которой они прилегают:

Построение выполняется в $3$ этапа, каждый из которых показан на рисунках:

Начертим произвольный отрезок $АВ$, который равен заданному отрезку $c$.

Читайте также:  Как выбрасывать вещи

Построим угол $А$, который равен заданному, как показано выше.

Построим угол $В$, который равен заданному.

Точка пересечения двух сторон построенных углов $А$ и $В$ является вершиной треугольника $С$.

Таким образом, получили треугольник $АВС$, построенный по стороне и двум углам.

Построение треугольника по трем сторонам

Пусть даны $3$ отрезка $а$, $b$ и $с$.

Необходимо построить треугольник по трем заданным сторонам.

Построим отрезок $АВ$, который равен заданному отрезку $c$.

Из точки $А$ проведем часть окружности с радиусом, равным заданному отрезку $b$.

Из точки $В$ проведем часть окружности с радиусом, равным заданному отрезку $a$. Пересечением обеих окружностей является точка $С$.

Таким образом, получили построенный треугольник $АВС$ по трем заданным сторонам.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Построение треугольников. Признаки равенства треугольников.

Построение треугольников по одному или двум элементам

Пусть требуется построить треугольник по данной стороне а. Так как об углах треугольника и о других его сторонах ничего не сказано, то можем построить сколько угодно различных треугольников, у которых одна сторона будет равна отрезку а

Пусть требуется построить треугольник по данному углу α. В этом случае также можно построить сколько угодно различных треугольников, имеющих данный угол,

Точно так же можно построить сколько угодно различных треугольников по двум сторонам, или по двум углам, или по углу и стороне (см. рис.).

Таким образом, если будут заданы только один или два элемента треугольника, то по этим элементам можно построить сколько угодно различных треугольников.

Далее о построении треугольников не по одному и не по двум, а по трём элементам:

1. Построение треугольника по двум данным его сторонам и углу между ними.
Первый признак равенства треугольников

Пусть требуется построить треугольник, одна сторона которого равна, например,

35 мм, другая сторона равна 32 мм и угол, заключённый между этими сторонами, равен 46°.

Построим с помощью транспортира ∠A, равный 46°, и на его сторонах отложим отрезки АВ и АС, соответственно равные 35 мм и 32 мм. Соединив точки В и С, получим искомый треугольник ABC.

По тем же данным построим другой треугольник – Δ А’В’С’.

Докажем, что эти треугольники равны между собой.

Для этого наложим Δ А’В’С на Δ AВС так, чтобы вершины А’ и А совместились. Сторону А’С’ направим по стороне АС. Тогда точка С совместится с точкой С’, потому что А’С’ = АС.

Сторона А’В’ пойдёт по стороне АВ, так как ∠A’ = ∠A. Точка В’ совместится с точкой В, так как А’В’ = АВ. Если точки С и С’, В и В’ совместились, то совместятся и стороны В’С’ и ВС.

Треугольники ABC и А’В’С’ совпали, значит, они равны.

Мы можем по этим же данным построить сколько угодно треугольников, и все они будут равны между собой.

Таким образом, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны между собой.

Назовём это первым признаком равенства треугольников.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Второй признак равенства треугольников

Пусть требуется построить треугольник, одна сторона которого равна, например, 40 мм, а углы, прилежащие к ней, равны 50° и 48°.

На произвольной прямой построим отрезок АС, равный 40 мм. Затем на этом отрезке при точке А построим угол, равный 50°, а при точке С – угол, равный 48°.

Если мы достаточно продолжим стороны этих углов, то они пересекутся в некоторой точке В. Получим треугольник ABC.

По тем же данным построим другой треугольник – Δ А’В’С’ и докажем, что эти треугольники будут равны между собой.

Для этого наложим Δ А’В’С’ на Δ ABC так, чтобы совместились равные стороны АС и А’С’. Тогда сторона А’В’ пойдёт по стороне АВ, так как ∠A’ = ∠A, и сторона С’В’ пойдёт по стороне СВ, так как ∠C’ = ∠C. Точка В’ одновременно должна быть и на стороне АВ, и на стороне СВ, следовательно, она совместится с точкой В, так как две прямые могут пересечься только в одной точке.

Треугольники ABC и А’В’С’ совпали, значит, они равные. По этим же данным можно построить сколько угодно треугольников, и все они будут равны между собой.

Таким образом, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны между собой.

Назовём это вторым признаком равенства треугольников.

Построение треугольника по трём данным его сторонам.
Третий признак равенства треугольников

Пусть требуется построить треугольник по трём его сторонам, например, сторона а = 30 мм, сторона с = 40 мм и сторона b = 42 мм. (Заданные размеры должны удовлетворять условию: сумма двух любых сторон треугольника больше третьей стороны.)

Сначала на произвольной прямой построим отрезок АС, равный данному отрезку b, т. е. 42 мм; мы сразу получим две вершины искомого треугольника – А и С.

Так как длина второй и третьей сторон соответственно равна отрезкам с и а (в данном случае 40 мм и 30 мм), то третья вершина треугольника должна находиться как на дуге, описанной из центра А радиусом, равным 40 мм, так и на дуге, описанной из центра С радиусом, равным 30 мм. Следовательно, третьей вершиной треугольника будет точка пересечения этих дуг. Обозначив эту точку буквой В и соединив её отрезками с точками А и С, получим искомый треугольник ABC.

По тем же данным построим второй треугольник – Δ А’В’С’ и докажем,

что Δ АВС = Δ А’В’С’. Для этого приложим треугольник А’В’С’ к треугольнику ABC так, чтобы их равные стороны А’С’ и AС совместились, причём точка А’ совпала бы с точкой А, точка С – с точкой С. Тогда треугольник А’В’С’ примет положение АВ”С. Сторона АВ будет равна стороне АВ” и сторона ВС – стороне В”С.

Соединив отрезком прямой точки В и В”, получим два равнобедренных треугольника ВАВ” и ВСВ”, у которых ∠1 = ∠2, а ∠3 = ∠4, откуда ∠B = ∠B”.

Следовательно, Δ АВС = Δ АВ”С, но тогда и Δ АВС = Δ А’В’С’.

По этим же данным можно построить сколько угодно треугольников, и все они будут равны между собой.

Мы доказали, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны между собой.

Назовём это третьим признаком равенства треугольников.

Замечания. 1. Во всех трёх признаках равенства треугольников в число трёх данных элементов входит хотя бы одна сторона треугольника.

2. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и, обратно, против равных углов лежат равные стороны.

Итак, три признака равенства треугольников:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны между собой

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны между собой

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны между собой

Оцените статью
Добавить комментарий