Как найти диагонали параллелепипеда

Диагональ параллелепипеда

В геометрии различают такие виды параллелепипедов: прямоугольный параллелепипед (гранями параллелепипеда выступают прямоугольники); прямой параллелепипед (его боковые грани выступают в роли прямоугольников); наклонный параллелепипед (его боковые грани выступают в роли перпендикуляров); куб параллелепипед с абсолютно одинаковыми измерениями, а грани куба – это квадраты. Параллелепипеды могут быть как наклонными, так и прямыми.

Основные элементы параллелепипеда — это то, что две грани представленной геометрической фигуры, которые не имеют общее ребро, являются противоположными, а те которые имеют – смежными. Вершины параллелепипеда, которые не относятся к одной грани, выступают противоположными относительно друг к другу. Параллелепипед имеет измерение — это три ребра, которые имеют общую вершину.

Отрезок, который соединяет противоположные вершины, называется диагональю. Четыре диагонали параллелепипеда, пересекаясь в одной точке, одновременно делятся пополам.

Для того чтобы определить диагональ параллелепипеда, нужно определить стороны и ребра, которые известны по условию задачи. При известных трех ребрах А , В , С проведите в параллелепипеде диагональ. Согласно свойству параллелепипеда, которое говорит о том, что все углы его прямые, определяется диагональ. Построить диагональ от одной из граней параллелепипеда. Диагонали нужно проводить таким образом, чтобы диагональ грани, искомая диагональ параллелепипеда и известное ребро, создавали треугольник. После того как образуется треугольник, найдите длину данной диагонали. Диагональ в другом полученном треугольнике выступает в роли гипотенузы, поэтому ее можно найти по теореме Пифагора, которую необходимо взять под корень квадратный. Таким образом, мы узнаем значение второй диагонали. Для того чтобы найти первую диагональ параллелепипеда в образованном прямоугольном треугольнике, также необходимо отыскать неизвестную гипотенузу (за теоремой Пифагора). По такому же примеру последовательно найдите остальные три существующие в параллелепипеде диагонали, выполнив дополнительные построения диагоналей, которые образуют прямоугольные треугольники и решите по теореме Пифагора.

Диагональ параллелепипеда. Формула. Как найти диагональ параллелепипеда?

Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий его противоположные вершины . Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед с диагональю d и со сторонами a, b, c . Одно из свойств параллелепипеда гласит, что квадрат длины диагонали d равен сумме квадратов трёх его измерений a, b, c. Отсюда вывод, что длина диагонали может быть легко рассчитана по следующей формуле :

Также :

Как найти высоту параллелепипеда?

Прямоугольным параллелепипедом (ПП) является ни что иное, как призма, основанием у которой прямоугольник. У ПП все диагонали равны, значит любая его диагональ рассчитывается по формуле:

а, в — стороны основания ПП;

Можно дать и другое определение, рассматривая декартову прямоугольную систему координат:

Диагональ ПП это радиус-вектор любой точки пространства, заданной координатами x, y и z в декартовой системе координат. Этот радиус вектор к точке проводится из начала координат. А координатами точки будут проекции радиус-вектора (диагонали ПП) на координатные оси. Проекции совпадают с вершинами данного параллелепипеда.

Если у прямоугольного параллелепипеда известны длина, высота и ширина (a,b,c) то формула для расчета диагонали будет выглядеть таким образом:

Обычно учителя не предлагают своим ученикам “голую” формулу, а прилагают усилия, чтобы те могли самостоятельно ее вывести, задавая наводящие вопросы:

  • что нужно узнать, какими данными мы располагаем?
  • какие свойства имеет прямоугольный параллелепипед?
  • применима ли здесь Теорема Пифагора? Как?
  • достаточное ли данных для применения теоремы Пифагора, или нужны еще какие-то расчеты?

Обычно после ответа на поставленные вопросы, ученики без труда самостоятельно выводят данную формулу.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Определение понятия

В общем случае диагональ представляет собой прямую линию, соединяющую вершины двух углов, не принадлежащих одной стороне многогранника. Прямоугольный параллелепипед в свою очередь состоит из шести граней, являющихся прямоугольниками.

Диагонали в прямоугольном параллелепипеде могут быть проведены не только во внутреннем пространстве фигуры, но и на боковых гранях. В последнем случае обычно уточняется, что речь идет о диагонали боковой грани.

Рис. 1. Диагональ параллелепипеда.

У параллелепипеда есть четыре диагонали. Причем, эти отрезки не принадлежат одной боковой грани или основаниям, а проводятся внутри фигуры.

Читайте также:  Как заверять копию паспорта

Характеристики диагонали

Существует две теоремы, касающиеся диагоналей параллелограмма. Чтобы их доказать, используются дополнительные построения. К примеру, часто диагональ нижнего основания данной объемной геометрической фигуры служит стороной для нескольких треугольников.

Первая Теорема

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда можно найти, суммировав квадраты трех измерений этой геометрической фигуры.

Здесь речь идет о длине, ширине и высоте рассматриваемого многогранника. Чтобы доказать данную теорему необходимо использовать свойства прямоугольных треугольников.

Диагональ проведенная в основании будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника $АВС$, значит ее можно найти по теореме Пифагора через сумму квадратов $АВ$ и $ВС$.

Затем рассмотрим прямоугольный треугольник $АСС’$. Диагональ $АС’$ также можно найти через теорему Пифагора, как корень из суммы катетов $АС$ и $СС’$. Но $АС$ мы уже находили как корень из суммы квадратов $АВ$ и $АС$:

Так выглядит формула данной теоремы.

Рис. 2. Связь диагонали параллелепипеда с ребром и основанием.

Обычно большая линия, лежащая в основании параллелепипеда, считается ее длиной. Меньший отрезок – шириной.

Вторая теорема

В любом параллелепипеде четыре диагонали пересекаются в одной точке, которую называют точкой симметрии, и делятся ей пополам. Это свойство доказывают, рассматривая две любые диагонали, и проводя соответствующие прямые.

Для доказательства этой теоремы нужно вспомнить, что плоскость может задаваться двумя пересекающимися прямыми. В рассматриваемом случае, плоскость, заданная двумя пересекающимися диагоналями, принимает форму прямоугольника. А диагонали прямоугольника, как известно, точкой пересечения делятся пополам.

Рис. 3. Пересечение диагоналей параллелепипеда.

Из этой же теоремы можно сделать вывод о том, что все его диагонали будут равными между собой.

Что мы узнали?

Мы поговорили о диагонали прямоугольного параллелепипеда. Узнали, что, используя свойства диагоналей параллелепипеда, можно найти ширину, длину и высоту параллелепипеда. Поговорили о том, как найти ось симметрии, и определить длину диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед – это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник с длиной a и шириной b. Двигаясь по вертикальной или наклонной оси на определенную высоту c, данный прямоугольник создает объемное тело, именуемое параллелепипедом.

Параллелепипед по определению может быть наклонным или прямым, то есть угол между высотой и прямоугольником в основании варьируется от до 90 градусов. Прямой параллелепипед имеет в качестве граней исключительно прямоугольники, и даже иногда квадрат (в основании), поэтому решение задач с его участием значительно облегчено. В случае с наклонным параллелепипедом в формулах необходимо учитывать, что боковой гранью является параллелограмм, строение которого зависит также от угла его наклона.

Помимо трех вышеуказанных параметров параллелепипеда – длины, ширины высоты, являющихся его ребрами, в данном теле можно также провести еще несколько отрезков, соединяющих его вершины. Как и в геометрических фигурах на плоскости, линии, проходящие внутри основного каркаса через вершины, называются диагоналями. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда идентичны диагоналям прямоугольников, которыми представлены грани – их, соответственно, можно вычислить, используя подходящий онлайн калькулятор для прямоугольников.

Другое дело – диагональ, проходящая не по внешней поверхности прямоугольного параллелепипеда, а сквозь него, соединяя противоположные вершины верхнего и нижнего оснований. При этом, какая именно пара противоположных вершин соединена, не имеет значения для расчетов, так как если рассмотреть сечения, можно увидеть, что обе диагонали параллелепипеда идентичны и найти их можно одним и тем же способом.

Итак, для того чтобы вывести формулу диагонали через длину, ширину и высоту, необходимо заключить диагональ в плоскую геометрическую фигуру, свойства которой можно будет использовать. Для этого в любом основании – верхнем или нижнем, проводится диагональ, которая образует с диагональю параллелепипеда и боковым ребром (высотой) прямоугольный треугольник. Применив одну лишь теорему Пифагора, можно найти диагональ основания через ширину и длину,а затем диагональ прямоугольного параллелепипеда, добавив в расчеты высоту.

Используя последнюю и предпоследнюю формулу, можно также успешно найти длину, ширину или высоту прямоугольного параллелепипеда, имея в заданных условиях три параметра из четырех, включая диагональ параллелепипеда. Например:

Формула и свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда

Одной из самых распространённых фигур в геометрии является прямоугольный параллелепипед. Формула его диагонали позволяет найти различные параметры объекта из-за своих замечательных свойств. Знать, что она представляет, необходимо не только для решения задач, связанных с многогранником, но и для успешного изучения стереометрии. Поэтому важно не только запомнить теоремы и формулы, дающиеся учителем в шестом классе средней школы, но и уметь применять знания.

Читайте также:  Как разыграть в день рождения

Общие сведения

В математике существует раздел, который называют стереометрией. Это наука, изучающая свойства фигур в пространстве. Геометрические объёмные тела состоят из точек, прямых и плоскостей. В зависимости от их взаимного расположения формируется та или иная фигура. Основным телом в стереометрии является многогранник — поверхность, состоящая из определённого числа многоугольников.

По сути, параллелепипед — это фигура, состоящая из шести прямоугольников. Его часто называют шестигранником. Образовывается он путём пересечения трёх пар плоскостей параллельных друг другу. Стороны, формирующие параллелепипед, называют гранями, а точки ограничивающие отрезки — вершинами. Таким образом, многогранник имеет шесть сторон и восемь вершин.

Прямоугольный объект отличается тем, что все углы в нём равняются девяносто градусов, а в основании лежит прямоугольник. Одной вершине прямоугольного многогранника сразу принадлежит три ребра. В литературе их часто называют измерениями. Правильным многогранником называют тот, у которого длины двух граней-измерений равны.

Фигура отличается следующим:

  • стороны, располагающиеся напротив друг друга, не только равны, но и параллельны;
  • линии, соединяющие по диагонали вершины пересекаются в одной точке делящую их пополам;
  • квадрат диагонали можно найти как сумму трёх измерений — высоты, длины и ширины;
  • если основания представляют собой квадрат, то фигуру называю кубом.

Кроме этого, объём прямоугольного объекта можно найти, перемножив три размерности фигуры. Если стороны основания обозначить как a и b, а высоту c, то формула для вычисления будет выглядеть как V = a * b * c. В частном случае объём для куба вычисляют по упрощённой формуле: V = a 3 . Отсюда следует, что площадь боковой поверхности равняется: S = 2ab + 2bc + 2ac.

В параллелепипед можно вписать тетраэдр. Его объём будет составлять третью часть от размера основного геометрического тела. Из типовых предметов с формой параллелепипеда в качестве примера можно привести спичечный коробок, кирпич, упаковочную почтовую коробку.

Диагонали параллелепипеда

Пусть имеются две параллельные поверхности АВС и А1B1C1. Плоскость АА1В1 пересекается с ними соответственно по линиям АВ и А1В1. Учитывая свойства параллельных площадей, можно утверждать, что прямые АВ и А1B1 будут параллельными. А так как и отрезки АА1 и ВВ1 параллельны по условию, то АВВ1А1 параллелограмм. Значит, все грани параллелепипеда — параллелограммы.

Если взять параллелепипед построенный на двух параллелограммах ABCD и А1B1C1D1 расположенных в параллельных плоскостях и соединить их вершины A1C, D1B, можно заметить, что отрезки являются диагоналями как четырёхугольника A1D1CB, так и параллелепипеда.

В четырёхугольной фигуре замкнутые линии A1D1 и BC параллельны и равны, отсюда следует — A1D1CB параллелограмм (по признаку параллелограмма). Значит, так как в четырёхугольной фигуре на плоскости диагонали пересекаются в одной точке, при этом делятся ею пополам, то и все диагонали параллелепипеда А1С1, С1А и D1В, DB1 будут пересекаться в этой точке.

Доказательство можно построить и следующим образом. Для любой пары противолежащих граней фигуры справедливо, что их соответствующие углы будут одинаковы, а значит A1ADD1 = B1BCC1 и их плоскости параллельны. Учитывая параллельность отрезков AB — DC и D1C1 — DC, верно будет утверждать, что AB не пересекает D1C1.

Если между AB и D1C1 провести плоскость, то AD и BC будут параллельны друг другу. Отрезки AC1 и BD1, так как являются диагоналями параллелепипеда, должны в ней делиться пополам. Для примера можно рассмотреть диагональ AC1 и A1C. Они будут диагоналями параллелограмма AA1C1C. Поэтому A1C пересекает AC1 в середине. Значит, три диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. По аналогии можно привести доказательство и для четвёртого отрезка B1D.

Таким образом, можно сформулировать три свойства диагоналей в параллелепипеде:

  1. В прямоугольном многоугольнике они пересекаются в одной точке.
  2. Диагонали не могут быть параллельными, но при этом равны друг другу.
  3. Найти диагональ в прямоугольном параллелепипеде можно по формуле: d = √(a² + b² + c²).

Зная эти свойства, можно приступать к решению задач. При этом стоит знать и сколько диагоналей у параллелепипеда — всего их четыре, а не шестнадцать, как думают, некоторые, прибавляя к четырём диагонали прямоугольников, формирующих объёмную фигуру.

Решение задач

В школе ученикам после рассмотрения теоретического материала учитель обычно предлагает для закрепления знаний решить несколько задач. Самостоятельное решение позволяет усвоить тему и научится применять теорию на практике. Существует набор типовых примеров, решив которые, школьник может переходить к следующим темам. Вот некоторые из них, часто попадающиеся в контрольных работах и тестах:

Читайте также:  Как разобраться в компьютере

  1. Найти, у какого прямоугольника объём будет больше, если три измерения первого равны: 1, 2, 2, а диагональ второго составляет семь единиц. Так как большая фигура будет иметь длиннее диагональ, то нужно вычислить её значение у первой фигуры и выполнить сравнение. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений, то есть d 2 = √ 1 2 + 2 2 + 2 2 = √9 = 3 единицам. Значит, объём первой фигуры будет меньше чем второй на четыре единицы.
  2. В прямоугольном параллелепипеде грань AA1 равняется 150 сантиметров, а отрезок AB = 2√9 метров. Найти диагональ фигуры. В первую очередь необходимо выбрать размерность, так как длины даны в сантиметрах и метрах. Для удобства вычислений можно взять метры. Фигура прямоугольная, значит, грани являются прямоугольниками. Отсюда следует, что обе диагонали одинаковые. Поэтому можно составить равенство: A1D = AD1. Вписанный треугольник A1B1D имеет прямые углы, так как ребро A1B1 перпендикулярно стороне AA1D1D. Опираясь на теорему Пифагора, можно сказать, что гипотенуза B1D, являющаяся диагональю, равна: B1D = √A1B1 2 + A1D 2 = √1,5 2 + (2√9) 2 = √2,25 + 6 = 2,87 метра.
  3. Пусть в прямоугольном многограннике два отрезка у основания равны двум и трём сантиметрам, а высота фигуры составляет шесть сантиметров. Найти диагональ. Для удобства можно принять, что AB = 2, AD = 3, AA1 = 6. В прямоугольнике диагональ основания будет равняться BD. Учитывая теорему Пифагора и то, что угол A равняется девяносто градусов, можно составить равенство: BD 2 = AB 2 + AD 2 . В треугольнике BB1D, у которого угол B составляет также девяносто градусов, диагональ будет равна сумме квадратов: B1D 2 = BD 2 +BB1 2 . Выполнив подстановку BD 2 из первого равенства во второе, можно получить искомое выражение: B1D 2 = AB 2 + AD 2 + BB1 2 = 2 2 + 3 2 + 6 2 = 49. Значит, длина диагонали в параллелепипеде равна: B1D = √49 = 7 сантиметрам.

Использование онлайн-калькулятора

Конечно же, на обычном калькуляторе не зная формул и свойств прямоугольного параллелепипеда ответ, даже на простую задачу, найти невозможно. Но решить практически любой сложности задание можно на так называемых онлайн-расчётчиках или математических онлайн-калькуляторах.

По сути, это интернет-сайты, предлагающие пользователям бесплатно воспользоваться услугами по вычислению различных геометрических величин. Для того чтобы их использовать, нужно иметь лишь подключение к интернету и любой гаджет, поддерживающий работу с веб-обозревателем.

Пользователю, загрузившему сайт с онлайн-калькулятором, можно даже не знать формулы и вообще не понимать, что собой представляет геометрическая фигура. Всё что от него требуется, так это внимательно вести в специальную форму условия задачи и нажать кнопку вычислить. Конечно же, такое решение нельзя назвать самостоятельным. Но использование сайтов подходит идеально для проверки полученного результата или выявления ошибок в расчёте.

Тем более, кроме непосредственно автоматического вычисления диагонали объёмного многогранника большинство сервисов содержат на своих страницах краткую теорию, а также примеры с подробным решением типовых заданий.

Из существующих сервисов можно выделить:

  1. Geleot. Калькулятор-справочник. Все математические разделы снабжены интерактивными калькуляторами, которые позволяют быстро и в автоматическом режиме проводить расчёты.
  2. Allcalc. Кроме, стандартного доступа через веб-страницу, сайт предлагает своим пользователям скачать приложение для Android OS. На проекте присутствуют авторские калькуляторы с таких сайтов как 4×4.lviv, Papaimama, V-stroim и многих других.
  3. Planetcalc. Особенность сайта в том, что для пользователей доступно написание комментариев под любым калькулятором. Это даёт возможность не только совершенствовать процесс, но и обмениваться опытом.
  4. Infofaq. На своих страницах содержит довольно подробные теоретические выкладки. На сайте в простой и доступной форме даны общие понятия и выложены основные формулы.

Приведённые онлайн-калькуляторы предлагают универсальные способы решения задач. Они дают возможность разобраться в вычислении примеров и заданий, хорошо закрепить пройденный материал и в дальнейшем без труда справляться не только с домашними, но и контрольными заданиями.

Оцените статью
Добавить комментарий