Как найти диагональ в параллелограмме

Формулы параллелограмма

Для расчёта всех основных параметров параллелограмма воспользуйтесь калькулятором.

Признаки и свойства параллелограмма

  1. Противоположные стороны параллельны и равны.
  2. Противоположные углы равны
  3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  4. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°
  5. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон
  6. Сумма углов параллелограмма равна 360°
  7. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
  8. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
  9. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Формулы стороны параллелограмма

Длины сторон через диагонали и угол между ними

$$ AB = <1 over 2>* sqrt $$ $$ AB = <1 over 2>* sqrt $$ $$ BC = <1 over 2>* sqrt $$ $$ BC = <1 over 2>* sqrt $$

Длина стороны через диагонали и известную сторону

Длины сторон через высоты и угол между сторонами

$$ AB = over sin(α)> = over sin(β)> $$ $$ BC = over sin(α)> = over sin(β)> $$

Формулы диагоналей параллелограмма

Длина диагонали через стороны и углы между ними

$$ AC = sqrt $$ $$ AC = sqrt $$ $$ BD = sqrt $$ $$ BD = sqrt $$

Длина диагонали через стороны и известную диагональ

Длина диагонали через площадь параллелограмма, известную диагональ и угол между диагоналями

$$ AC = <2 * s over bd sin(α)>= <2 * s over bd sin(β)>$$ $$ BD = <2 * s over ac sin(α)>= <2 * s over ac sin(β)>$$

Формулы углов параллелограмма

Косинус острого угла

Косинус тупого угла

Синус острого и тупого угла через площадь и стороны параллелограмма

Формулы углов между диагоналями параллелограмма

Косинус острого угла через стороны и диагонали

Косинус тупого угла через стороны и диагонали

Синус острого и тупого угла через площадь и диагонали

Все формулы диагонали параллелограмма

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.

a , b – стороны параллелограмма

Читайте также:  Как научиться рисовать лицо

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α , β – углы параллелограмма

Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), ( D , d ):

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), ( D , d ):

2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α , β – углы между диагоналями

S – площадь параллелограмма

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, ( D , d ):

Диагонали параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого по определению противоположные стороны параллельны и равны. Как следствие, противоположные углы параллелограмма также будут между собой равны, а так как сумма всех углов в четырехугольнике равна 360 градусам, то можно сделать вывод, что сумма двух последовательных углов будет равна 180 градусам. Данное свойство будет играть существенную роль для нахождения диагоналей параллелограмма, с учетом того, что они разной длины.

Так как каждая диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, именно их свойства и будут использованы для выведения формулы диагонали параллелограмма.

В любом треугольнике угол и сторона, лежащие напротив, пропорциональны друг другу. Для параллелограмма это будет значить, что более длинная диагональ будет лежать напротив тупого угла, а более короткая диагональ – напротив острого.С учетом того, что стороны треугольников, полученных в результате проведения диагоналей, одинаковы – это стороны параллелограмма, значение градусной меры угла между данными сторонами определяет чему будет равна длина диагонали,вычисленной по формуле. Другими словами, если в формулудиагонали подставить значение острого угла параллелограмма, то калькулятор вычислит длину короткой диагонали, а если подставить значение тупого угла – то длинной.

Для того чтобы перейти от одного угла к другому, используется разность 180 градусов и заданного угла, таким образом калькулятор одновременно может вычислить обе диагонали.

Чтобы вывести формулу диагонали параллелограмма, используется теорема косинусов в треугольнике, который диагональ образует со сторонами. В любом из подобных треугольников, диагональ является стороной, противолежащей углу параллелограмма и, соответственно, ее квадрат равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (сторон параллелограмма, в данном случае) за вычетом удвоенного произведения тех же сторон на косинус приведенного угла. Чтобы найти длину диагонали параллелограмма, калькулятор вычисляет квадратный корень из данного выражения.

Читайте также:  Как изменить файл подкачки

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Рис.1Рис.2

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =d 1
2
BO = DO =d 2
2

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =√ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 b 2
2
b =√ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 a 2
2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a =h b
sin α
b =h a
sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

a =S
ha
b =S
hb

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d 1 = √ a 2 + b 2 – 2 ab·cosβ

d 2 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ

d 1 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα

d 2 = √ a 2 + b 2 – 2 ab·cosα

d 1 = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d 2 2

d 2 = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d 1 2

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d 1 =2S=2S
d 2· sinγd 2· sinδ
d 2 =2S=2S
d 1· sinγd 1· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + 2 b = 2( a + b )

P = 2 a + √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 b 2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

P =2( b +h b)
sin α
P =2( a +h a)
sin α

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S =1d 1 d 2 sin γ
2
S =1d 1 d 2 sin δ
2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Как найти диагональ параллелограмма?

Параллелограмм представляет собой геометрическую фигуру, характерной особенностью которой является то, что у нее противоположные стороны параллельны и попарно равны, а также диагонали в ней пересекаются, и точка пресечения делит их пополам. Квадрат, ромб и прямоугольник являются параллелограммами.

Диагональ параллелограмма

Рассмотрим, как найти диагональ параллелограмма. В параллелограмме:

  • Сумма углов, которые прилегают к одной стороне, всегда будет составлять 180 градусов;
  • Точка, в которой диагонали пересекаются, есть центр симметрии параллелограмма.
  • В любом четырехугольнике, в том числе в параллелограмме сумма всех углов равна 360 градусов;
  • Удвоенная сумма квадратов двух смежных сторон параллелограмма всегда равна сумме квадратов диагоналей.
Читайте также:  Как понять, для чего ты рожден

Для того чтобы знать, как найти большую диагональ параллелограмма, надо определиться с буквенным обозначением. К примеру, мы имеем параллелограмм со сторонами АВ и ВС. Маленькой буквой «а» обозначим одну длину параллелограмма, а маленькой буквой «в» будет вторая его длина. Маленькими буквами d1 d2 обозначим диагонали. Для того чтобы найти диагональ параллелограмма надо:

  • Значение свойств параллелограмма помогает найти нужное решение. Диагонали, которые в точке пресечения делятся пополам, называются биссектрисами. Меньшая биссектриса – для тупых углов, большая для острых углов. Таким образом, когда рассматриваются пары треугольников, получаемых из одной диагонали и двух смежных сторон геометрической фигуры, другая половина диагонали является еще и медианой.
  • Треугольники, которые получаются в результате образования половинами диагонали и параллельными сторонами любого параллелограмм считаются подобными, также диагональ делит такую геометрическую фигуру на два треугольника, они симметричны относительно основания и абсолютно одинаковы.
  • Для нахождения большой диагонали параллелограмма необходимо воспользоваться общепринятой формулой, которая говорит о соотношении суммы квадратов длин сторон, которая удваивается и суммы квадратов двух диагоналей. Формула будет иметь такой вид: d1² + d2² = 2х(a² + b²).
  • Если большая диагональ – d2 , тогда формула будет иметь такой вид: d2 = <2х (a² + b²) – d1²>.

Рассмотрим на примере, как найти длину диагонали параллелограмма. Допустим, что параллелограмм имеет длину сторон: а = 3, в = 8. Необходимо найти ту диагональ, которая является большей, при этом будет известно, что она больше меньшей на три см. диагональ. Сначала записываем формулу в общем виде, она будет иметь вид: d1² + d2² = 2 х (9+64) = 146, далее выражаем длину меньшей диагонали: d1 = d2 – 3, подставив то выражение в первую формулу, получим: (d2 – 3)² + d2² = 146

  • Возводим в квадрат значение в скобках, получаем: d2² – 6х d2 + 9 + d2² = 14, 2х d2² – 6х d2 -135 = 0
  • Полученное квадратное уравнение решается, используя дискриминант. Таким образом, диагональ равна 9,85 и она является положительной величиной.

Оцените статью
Добавить комментарий