Как для графика составить уравнение

Составить функцию по графику.

Привет всем, помогите составить функцию, по графику, график приложен снизу

функция в каком-то роде экспоненциальная, что-то у меня голова не работает составить функцию для этой кривой

я не знаю, что этой функции добавить, чтобы она начала сперва падать, слегка, а потом очень резко вырасти, но интересует интервал [0; L]

Распознать по графику функцию
Что это может быть а функция? Или даже 2 🙂 Подкиньте мыслю 🙂

Определить функцию по графику
Поиогите пожалуйста

Написать функцию по графику
Помогите пожалуйста! По данному графику нужна функция (формула), чтобы я потом через if смог.

Составить уравнение касательной к графику
составьте уравнение касательной к графику функции y=2x^2-16x+27, в точке с абсциссой x0=7

Составить уравнения касательных к графику функции
Составить уравнения касательных к графику функции у= 2х+5/ х+2 , перпендикулярных прямой.

я во тут подумывал взять тригонометричические функции, они вырисовывают всякие кривые очень хорошо

Добавлено через 34 минуты
нечто похожее получается от функции

в интервале примерно [0.2; 0.8]

но эту формулу я даже боюсь в другую формулу подставить, с такими замороками

Решение

А квадратный трехчлен не подойдет?

Пусть x – точка минимума, тогда
y() = min to y’ = a + 2b = 0 to a = – 2b \
y = d – 2bx + b \
end” />
На правом краю интервала должно выполняться условие

К примеру, при D=2d и L=4x минимум будет равен

то есть, он действительно неглубокий.

с квадратичной функцией я тоже только что решил, вроде бы получилось, потом нашел ответ к задаче, там функция обычная логарифмическая, странно конечно, что она по другому чуть выглядит, но может смысл все таки тот же крылся.

моя функция через квадратичную вышла вот так

зависимость площади в месте х при такой функции, если кому может надо будет..

задание было: найти диаметр в определенном месте, функция нужна была для расчета прироста диаметра. от это вес, и так далее. там еще 5 функций после этой, поэтому не хотел замудренную функцию иметь, чтобы потом с подстановкой одну в другую проще было, если бы программу писал бы для расчета – то было бы все равно, а решать на листочке бумаги. сильно долгая процедура

Заказываю контрольные, курсовые, дипломные и любые другие студенческие работы здесь.

Составить уравнения касательных к графику функции
Составить уравнения касательных к графику функции: у=(2х+1)/(x+1), перпендикулярных прямой y+x+7=0.

Как составить уравнение по графику функции?
Допустим, de-facto дан график явления – например, нарисован осцилографом, либо от руки график.

Построение графиков функций

Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она. мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, – линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».

Темы для повторения:

1. Построим график функции

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

Упростим формулу функции:

График функции — прямая с выколотой точкой

2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

3. Построим график функции

Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали

4. Построим график функции

Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:

Действуем по порядку:

1) График функции y=sinx сдвинем на влево;

2) сожмем в 2 раза по горизонтали,

3) растянем в 3 раза по вертикали,

4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

5. Построим график функции

Область определения функции:

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Читайте также:  Как сделать образ жёсткого диска

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.

6. Построим график функции

Это дробно-рациональная функция.

Область определения функции

Нули функции: точки — 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.

Вот эскиз графика:

Еще один интересный прием — сложение графиков.

7. Построим график функции

Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте

Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

8. Построим график функции

Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен

Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при

При , значение равно единице. Значение функции в этих точках будет равно

9. Построим график функции

Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.

Нули функции — в точках, где то есть при

Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции

Область определения функции — все действительные числа, поскольку

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.

Найдем производную функции
По формуле производной частного,

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.

Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

Общая схема построения графика функции:

1. Область определения функции

2. Область значений функции

3. Четность — нечетность (если есть)

4. Периодичность (если есть)

5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Как составить уравнение по таблице (формулу по графику)?

Имеем экспериментально установленные данные. Нужно к ним подобрать формулу.

Пусть по вертикальной оси параметр N, а по горизонтальной S. Нужно получить зависимость N=f(s) ИЛИ / И S=f(N) по точкам.

Подбор уравнения к графику.

Часто возникает ситуация когда нужно получить некую эмпирическую зависимость выраженную неким уравнением или формулой F=f(x) тогда как исходные данные представляют собой дискретные величины. Иными словами нужно получить формулу зависимости экспериментальных данных с целью дальнейшего прогноза или получения точного значения в промежуточном диапазоне, где нет возможности установить параметры экспериментально. Для этого необходимо подобрать эмпирическую зависимость к экспериментальным данным по уже имеющимся зрительно похожим графическим зависимостям к имеющимся установленным экспериментально графику.

Однако часто зависимость бывает достаточна сложна для того что бы было возможно подобрать уравнение без применения специального программного обеспечения.. В данной статье я расскажу как пользоваться программой Eureqa Formulize. Рассмотрим все на примере. Исходные данные: вводим в таком порядке:

Вот тут просматриваем зависимость:

Здесь выбираем какие функции можно использовать. Тая я выбрал постоянную величину, умножение, сложение, вычитание, синус и косинус.

Жмем старт (RUN) и смотрим сходимость функции:

А в этом окошке просматриваем возможные варианты уравнения. Можем также их отсортировать по «точности» нажав на “Fit”:

Ждем. И когда надоест ждать или увидите ту функцию которая скорее всего вас устраивает зрительно (простота формулы) и графически (визуальное совпадение) останавливаем процесс. Я выбрал вот эту функцию:

А это её проверка в Microsoft Excel:

Таким образом, мы получили примерную зависимость волшебных звездочек от просмотров:

Точки были построены экспериментально по общедоступной информации в сети интернет. Параметры К и Z (S) обновляются в разный момент времени из-за чего возможны некоторые отклонения.

Думаю особый интерес вызывает значения N в диапазоне Z = (0;6):

Графики элементарных функций. Графический способ решения систем уравнений

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип: повторение и закрепление свойств графиков элементарных функций и уравнений; графический способ решения систем уравнений.

Цели:

  • систематизировать знания о графиках элементарных функций (линейной, прямой и обратной пропорциональностях, квадратичной, кубической);
  • научиться графически решать системы уравнений;
  • подготовка к новой форме экзамена по алгебре в виде тестирования;
  • развитие логического мышления;
  • тренировка работы с тестами.

Оборудование: таблица «Графики элементарных функций» у всех учеников, черновики, листы с заданиями из тестов мини-ЕГЭ (или задания представлены на интерактивной доске), циркуль.

Читайте также:  Как накрасить ногти дома

Ход урока

I. Организационный момент.

Всем ученикам раздать таблицу «Графики элементарных функций».

Учитель: Для изучения следующей темы «Графическое решение систем уравнений» нам необходимо вспомнить правила и особенности построения графиков изученных нами элементарных функций.

II. Повторение и обобщение знаний.

Учитель: Перечислите функции, которые мы изучали. (Линейная, прямая и обратная пропорциональность, квадратичная, кубическая, у = , у = ∣ x∣ ).

Итак, первая функция, с которой мы познакомились – это линейная функция.

Фронтальный опрос:

  1. Какая функция называется линейной? (Функция вида у =kх +b, где х – независимая переменная,k иb – некоторые числа).
  2. Что является графиком линейной функцией? (Графиком линейной функции является прямая).
  3. Как построить эту прямую? (Для построения достаточно найти координаты двух точек).
  4. А если k = 0, то как выглядит прямая? (Она параллельная оси абсцисс).
  5. Какая функция является частным случаем линейной функции? (Прямая пропорциональность).
  6. Какая функция называется прямой пропорциональностью? (Функция вида у =kх называется прямой пропорциональностью).
  7. Что является графиком прямой пропорциональности? (Прямая).
  8. Какова особенность этой прямой? (Эта прямая проходит через начало координат).
  9. Как расположена прямая на координатной плоскости в зависимости от коэффициента k? (Приk > 0 прямая находится в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях, приk 0 угол наклона прямой к положительной полуоси абсцисс острый, приk 0, то ветви расположены в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях; еслиk 2 Б. у = 3/x В. у = 3х Г. у = 3√x

№6. На рисунке изображен график функции у = (k/x) + b. Определите знаки коэффициентов k и b.

1) k > 0, b > 0 2) k > 0, b 0 4) k 0, b > 0 2) k > 0, b 0 4) k 2 +bх + с, где х – независимая переменная, а,b, с – коэффициенты, причем а ≠ 0).

  • Что является графиком квадратичной функции? (Графиком квадратичной функции является парабола).
  • От чего зависит направление ветвей параболы? (При а > 0 ветви направлены вверх, при а 2 + n, у = а(х – m) 2 ? (График функции у = ах 2 +n получается из графика функции у = х 2 параллельным переносом вдоль оси ординат наn единиц вверх приn > 0 и вниз, еслиn 2 получается из графика функции у = х 2 параллельным переносом вдоль оси абсцисс наm единиц вправо, еслиm 0).
  • VII. Решение задач.

    №9. График какой функции изображен на рисунке?

    А. у = (х + 2) 2 Б. у = −х 2 −2 В. у = −(х + 2) 2 Г. у = − (х – 2) 2

    №10. На рисунке изображен график функции у = 0,5х 2 – 3х + 4. Используя график, решите неравенство 0,5х 2 – 3х + 4 ≥ 0.

    №11. По графику квадратичной функции найдите промежутки ее убывания.

    1) (0; 4) 2) [−1; + ∞) 3) [2; + ∞) 4) (− ∞; 2]

    №12. По графику квадратичной функции найдите все значения х, при которых у > 0.

    1) (0; + ∞) 2) (0; 4) 3) (-1; 3) 4) (1; + ∞)

    №13. Для какой параболы нет соответствующего рисунка?

    Ι. у = х 2 + 1 ΙΙ. у = (х + 1) 2 ΙΙΙ. у = (х − 1) 2 ΙV. У = 1 – х 2

    А. ΙΙ Б. ΙΙ В. ΙΙΙ Г. ΙV

    №14. С какой прямой график параболы у = −х 2 + 4х – 3 не имеет общих точек?

    А. у = −10 Б. у = 1 В. у = 0 Г. у = х

    VIII. Повторение и обобщение знаний.

    Учитель: Есть еще функции и уравнения фигур, с которыми мы знакомы, но встречались очень редко.

    Фронтальный опрос:

    1. Какая функция называется кубической? (Функция вида у = ах 3 )
    2. Что является ее функцией? (Кубическая парабола).
    3. Где она может находиться в зависимости от коэффициента а? (Если а > 0, то график находится в 1 и 111 координатных четвертях, если а 0, то кривая лежит в 1 координатной четверти, еслиk 2 + (у –b) 2 =R 2 , где (а;b) – координаты центра окружности,R – радиус окружности).
    4. А если центр окружности лежит в начале координат, то как выглядит это уравнение? (х 2 + у 2 =R 2 ).

    IX. Самостоятельная работа (тестирование).

    Каждый ученик получает листок с заданием, на котором отвечает правильные ответы. По окончании ученики меняются листами, проверяют ответы друг друга, ставят оценку. На интерактивной доске показаны ответы, по которым сверяются ученики.

    №1 – 1В, 2Б, 3Г, 4А. №2 – А4, Б1, В2, Г3. №3 – Iв, IIа, IIIб. №4 – Iб, IIа, IIIв. №5 – 13, 21, 34, 42.

    Оценивание: за 5 верно выполненных заданий оценка «5», за 4 – «4», за 3 – «3».

    №1. Установите соответствие между графиками функций и формулами.

    А. у = 3/x Б. у = х – 2 В. у = (х – 2) 2 Г. у = −х 2

    №2. Установите соответствие между графиками функций и формулами.

    А. у = 3/x Б. у = 3 В. у = х 2 Г. у = √x

    №3. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график (а, б, в).

    Ι. у = (4/x) + 1 ΙΙ. у = x 2 /4 ΙΙΙ. у = (x/4) + 1

    №4. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.

    1) у = −х 2 + 2 2) у = х – 2 3) у = х 2 – 2

    №5. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.

    1) у = 2/x 2) у = 2х 3) у = 2 – х 2 4) у = 2х + 2

    Подводятся итоги самостоятельной работы.

    X. Новая тема.

    Учитель: Следующая тема, которую мы будем изучать, это «Графическое решение систем уравнений». В чем заключается этот способ решения систем уравнений? (Построить графики каждого уравнения системы; координаты точки пересечения графиков и есть решение систем уравнений).

    • Что является решением системы уравнений? (Координаты точки пересечения графиков уравнений системы).

    XI. Решение задач.

    Попробуем графически решить системы уравнений, используя уже готовые чертежи.

    №15. На рисунке изображены графики функций у = х 2 – 2х и у = −х. Используя графики, решите систему уравнений

    1) (0; 2) 2) (0; 1) 3) (0; 0), (1; −1) 4) (0; 0), (−1; 1)

    №16. На рисунке изображены графики функций у = х 3 и у = х. Используя графики, решите систему уравнений

    1) −1; 0 и 1 2) (−1; −1), (0; 0), (1; 1) 3) (−1; −1) и (1; 1) 4) (−1; 1), (0; 0) и (−1; 1)

    №17. Используя графики функций у = 12/x и у = х – 1, решите систему уравнений

    №18. Для решений какой системы уравнений выполнен рисунок?

    №19. На координатной плоскости построены графики уравнений ху = 2х – у + 1 и х + у = 1. Используя эти графики, решите систему уравнений

    1) (−2; 3), (0; 1); 2) (3; −2), (1; 0); 3) (−2; 3), (1; 0); 4) (3; −2), (0; 1).

    №20. Пользуясь рисунком, укажите систему уравнений, решением которой является пара х = 4, у = 0.

    №21. На рисунке изображена окружность, заданная уравнением х 2 + у 2 = 4 и три прямые у = х, у = −1, у = −2. Укажите систему уравнений, которая имеет единственное решение.

    №22. На рисунке изображена парабола у = 4 – х 2 и прямые х – 2 = 0, х – 5 = 0, у + х = 1 и у = 2. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений.

    №23. Укажите рисунок, на котором приведена графическая иллюстрация решения системы уравнений

    №24. Для каждой системы уравнений укажите число ее решений. (Для ответа используйте графики; график уравнения х 2 + у 2 = 4 изображен на рисунке).

    а) нет решений; б) одно решение; в) два решения; г) три решения.

    №25. При каком наименьшем натуральном значении с система имеет три решения. (Можно дать это задание на дом).

    1 рисунок. Если с > 3, то система не имеет решений.

    2 рисунок. Если с = 3, то система имеет одно решение.

    Прямая линия. Уравнение прямой.

    Свойства прямой в евклидовой геометрии.

    Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

    Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

    Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

    параллельными (следует из предыдущего).

    В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

    • прямые пересекаются;
    • прямые параллельны;
    • прямые скрещиваются.

    Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

    задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

    Общее уравнение прямой.

    Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

    причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

    уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

    C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

    А = 0, В ≠0, С ≠0 – прямая параллельна оси Ох

    В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу

    В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

    А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

    Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

    Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

    Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

    перпендикулярен прямой , заданной уравнением

    Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

    Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

    подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

    С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

    Уравнение прямой, проходящей через две точки.

    Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,

    проходящей через эти точки:

    Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

    плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

    Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

    Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

    Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

    Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

    Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

    и обозначить , то полученное уравнение называется

    уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

    Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

    По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

    прямой через точку и направляющий вектор прямой.

    Определение. Каждый ненулевой вектор 1, α2), компоненты которого удовлетворяют условию

    Аα1 + Вα2 = 0 называется направляющим вектором прямой.

    Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

    Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

    коэффициенты должны удовлетворять условиям:

    1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

    Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

    при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

    Уравнение прямой в отрезках.

    Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

    или , где

    Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

    прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

    Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

    С = 1, , а = -1, b = 1.

    Нормальное уравнение прямой.

    Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

    нормирующем множителем, то получим

    xcosφ + ysinφ – p = 0 – нормальное уравнение прямой.

    Оцените статью
    Добавить комментарий